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Sommaire "Bases d'algorithmique et de programmation"

[Mise à jour le 4/6/2021]

Sources

  • Numérique et sciences informatiques 1er - ellipses

Les données et les programmes stockés dans la mémoire des machines numériques sont représentés à l'aide de deux chiffres : 0 et 1.

0 et 1 sont appelés chiffres binaires (Binary Digits) ou bits.

Ces chiffres binaires sont regroupés en paquets de 8 bits (octets ou bytes) puis couramment organisés en mots de 2, 4 ou 8 octets. Une machine dite 32 bits manipule des mots de 4 octets lorsqu'il effectue des opérations. Ce regroupement de bits est à la base de la représentation des entiers, des réels et des caractères.

Il est nécessaire d'utiliser des codes (encoder) pour représenter des entiers, des décimaux et des caractères.

2.1 Écriture en base 2

Une séquence de chiffres binaires peut s'interpréter comme un nombre écrit en base 2. Dans cette base, les chiffres 0 et 1 d'une séquence sont associés à un poids 2i qui dépend de la position i des chiffres dans la séquence.

Une séquence de n bits bi, bn-1,bn-2,…,b1,b0 correspond au nombre décimal N tel que :
$$N_{10} = b_{n-1}2^{n-1}+b_{n-2}2^{n-2}+ ... +b_12^1+b_02^0 = \displaystyle\sum_{i=0}^{i=n-1}b_i2^i$$
Cet encodage permet de représenter des entiers dans l'intervalle [0,2n - 1]

Exemples
- Un octet (n = 8) permet de coder tous les nombres entre 0 et 255
- 100110112 = 1*27 + 0*26 + 0*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 128 + 16 + 8 + 2 + 1 = 15510

2.2 Écriture en base 16

La base 16 ou hexadécimale est souvent utilisée pour simplifier l'écriture des nombres binaires.

On passe d'un nombre en base 16 à un nombre en base 2 en regroupant les chiffres binaires par 4.

2.3 Boutisme

Sources

La représentation en machine des entiers naturels sur des mots de 2, 4 ou 8 octets se heurte au problème de l'ordre dans lequel ces octets sont organisés en mémoire. Ce problème est appelé le boutisme (ou endianness).

  • Big endian
Le gros boutisme consiste à placer l'octet de poids fort en premier, c'est-à-dire à l'adresse mémoire la plus petite.

  • Little endian
Le petit boutisme consiste à placer l'octet de poids faible en premier. C'est-à-dire à l'adresse mémoire la plus petite.
Bien que le boutisme soit géré au niveau du système d'exploitation, il peut être nécessaire d'en tenir compte lorsqu'on accède aux octets en mémoire ou lors d'échanges sur un réseau.

2.4 Bases 2,10 et 16 en Python

Ressource

Le code complément à 2 permet d'effectuer simplement des opérations arithmétiques sur les entiers relatifs codés en binaire. Il opère toujours sur des nombres binaires ayant le même nombre de bits (par commodité, celui-ci est généralement un multiple de 4). Wikipédia

Le code complément à 2 permet de représenter des entiers dans l'intervalle [-2n-1,2n-1 - 1]. Le bit de poids fort (bit le plus à gauche) ou MSB (Most Significant Bit) donne le signe du nombre représenté (0 ⇒ positif ou 1 ⇒ négatif).

Exemple
- Un octet (n = 8) permet de coder en complément à 2 tous les nombres entre -128 et 127.
- Le nombre 011100012 est positif et égal à 8910
- Le nombre 111111112 est négatif et égal à -110

Obtention d'un nombre binaire en complément à 2

Avant de convertir un nombre décimal en binaire complément à 2, il faut s'assurer de représenter ce nombre avec suffisamment de bits. -2n-1≤-N avec N>0

Exemple : nombre de bits nécessaires pour coder -12500010
-2n-1 ≤ -125000
⇒ 2n-1 > 125000
⇒ log10(2n-1) > log10(125000) or log10(ab) = b*log10(a)
⇒ n-1 > log10(125000)/log10(2)
⇒ n > (log10(125000)/log10(2)) + 1 ⇒ n > 17,93 ⇒ n=18

Vérification : pour n = 18, N10 ∈ [-217, 217-1] soit -131072 ≤ N10 ≤ 131071

4.1 Nombres décimaux

L'encodage des nombres flottants est inspiré de l'écriture scientifique des nombres décimaux qui se compose d'un signe (+ ou -), d'un nombre décimal m appelé mantisse, compris dans l'intervalle [1, 10[ et d'un entier relatif n appelé exposant. L'écriture scientifique d'un nombre décimal est de la forme ±m x 10n.

On remarquera que le nombre 0 ne peut pas être représenté par cette écriture.

4.2 Norme IEEE 754

Ressource

Présentation

La représentation des nombres flottants et les opérations arithmétiques sur ces nombres a été définit par la norme IEEE 754. C'est la norme couramment utilisée dans les ordinateurs. Selon la précision souhaitée, la norme définit un format sur 32 bits (simple précision) et un autre sur 64 bits (double précision).

Un nombre flottant a la forme suivante : (-1)sm x 2(e-d).
s : signe (0 ⇒ positif, 1 ⇒ négatif)
m : mantisse comprise dans l'intervalle [1,2[
e : exposant, décalé (biaisé) d'une valeur d qui dépend du format choisi (32 ou 64bits)

Remarques

  • La mantisse est comprise dans l'intervalle [1,2[ donc m est toujours de la forme 1,xxxx. Aussi pour gagner 1 bit, on ne stocke que les chiffres après la virgule, qu'on appelle la fraction.
  • L'exposant peut être positif ou négatif. Cependant, la représentation habituelle des nombres signés (complément à 2) n'est pas utilisée car, elle rendrait la comparaison entre les nombres flottants un peu plus difficile. Pour régler ce problème, l'exposant est « biaisé », afin de le stocker sous forme d'un nombre non signé.

Format simple précision (32 bits)

Un nombre flottant simple précision est stocké dans un mot de 32 bits : 1 bit de signe, 8 bits pour l'exposant et 23 bits pour la mantisse.

Pour le format 32 bits, l'exposant décalé (e-d) est un entier sur 8bits qui représente les nombres entre 0 et 255. d=127, on représente ainsi des exposants signés dans l'intervalle [-126, 127] car, 0 et 255 représentent des nombres particuliers (voir tableau des valeurs spéciales).

Exemple

Conversion en décimal de N2 = 1 10001100 1010110110000000000000

  • signe = -11 = -1
  • exposant = (27 + 23 + 22) - 127 = (128 + 4 + 2) - 127 = 7
  • mantisse = 1 + 2-1 + 2-3 + 2-5 + 2-6 + 2 + 2-8 + 2-9 = 1,677734375

donc N10 = - 1,677734375 * 27 = -214,75


Tableau récapitulatif simple précision, double précision

exposant (e) fraction (f) valeur
32 bits 8 bits 32 bits (-1)s x 1,f x 2(e-127))
64 bits 11 bits 52 bits (-1)s x 1,f x 2(e-1023))

s : signe (0 ⇒ positif, 1 ⇒ négatif)
f : fraction de la mantisse m
e : exposant

En simple précision (32 bits), les nombres flottants positifs peuvent représenter les nombres décimaux compris dans l'intervalle [10-38,038], [10-308,0308] en double précision (64 bits).

Valeurs spéciales

Le format des nombres flottant ne permettant pas de représenter le nombre 0, la norme IEE 754 utilise les valeurs de l'exposant 0 et 255 pour remédier à ce problème et représenter d'autres valeurs spéciales.

Signe Exposant Fraction Valeur spéciale
0 0 0 +0
1 0 0 -0
0 255 0 +∞
1 255 0 -∞
0 255 ≠0 NaN

NaN : Not a Number permet de représenter des résultats d'opérations invalides (0/0 etc.)

Nombres dénormalisés

Dans la représentation précédente (normalisée), le plus petit nombre est 2-126 soit environ 10-38. Il n'y a pas de nombre représentable dans l'intervalle [0, 2-126[.

La norme IEEE 754 permet d'encoder des nombres de la forme (-1)s x 0,f x 2-126. Sans les nombres dénormalisés, les deux tests x - y = 0 et x = y ne seraient pas systématiquement équivalent.

Arrondis

La représentation des nombres décimaux par des flottants est une représentation approximative. La norme IEEE 754 définit quatre modes d'arrondi pour choisir le meilleur flottant.
  • Au plus près(par défaut) : le flottant le plus proche de la valeur exacte;
  • Vers zéro : le flottant le plus proche de 0;
  • Vers plus l'infini : le plus petit flottant supérieur ou égal à la valeur exacte;
  • Vers moins l'infini : le plus grand flottant inférieur ou égal à la valeur exacte;

Exemple Le nombre flottant le plus proche de N10 = 1,6 est N2 = 0 01111111 10011001100110011001101

N10 = 1 + (2-1 + 2-4 + 2-5 + 2-8 + 2-9 + 2-12 + 2-13 + 2-16 + 2-17 + 2-20 + 2-21 + 2-23) x + 2127-127 = 1,60000002384185791015625

4.3 Les flottants en Python

La représentation des caractères dans les ordinateurs permet de stocker et échanger des textes. Associer un numéro unique à un caractère s'appelle l'encodage.

5.1 Codage ASCII

Dans les années 60, les ordinateurs utilisent des mots de 8 octets. Le code ASCII (American Standard Code for Information Interchange) normalise la représentation des caractères. Dans ce code, le bit de poids fort b7 est toujours à 0. Entre 0016 et 2016 les caractères sont dit spéciaux (espace, tabulation, fi n de ligne, etc).

Un texte codé en ASCII est simplement une suite d'octets correspondant à la séquence de caractères.

 C  e  c  i     e  s  t     u  n     t  e  x  t  e  !
43 65 63 69 20 65 73 74 20 75 6e 20 74 65 78 74 65 21

Le code ASCII est encore utilisé aujourd'hui. Cependant, il a l'inconvénient de ne pas représenter les caractères accentués. Il est également limité à l'alphabet latin.

De nombreux autres encodages ont été proposés et utilisés pour résoudre ces problèmes. Le code qui a fini par s'imposer au niveau international est le code UTF-8 (Unicode Transformation Format).

5.2 Codage Unicode

Unicode définit un jeu de caractères qui vise à inclure le plus grand nombre possible de systèmes d'écriture. Il contient à l'heure actuelle (2021) 143000 caractères couvrant 150 systèmes d'écriture ainsi que les emojis.

Chaque caractère a un code unique, appelé “code point” et noté U+<nombre hexadécimal>.

5.3 UTF-8

UTF-8 (Universal Transformation Format) est un code à taille variable destiné à représenter les caractères Unicode avec au minimum 8 bits. Les caractères sont représentés sur 1,2,3 ou 4 octets. UTF-8 est compatible avec le code ASCII : les codes UTF-8 d'un octet avec le bit de poids fort à zéro sont les caractères du code ASCII. Les caractères codés sur plus d'un octet ont tous le bit de poids fort à 1, de telle sorte qu'ils sont en général ignorés par les logiciels qui ne connaissent que le code ASCII.

Nb Octets Premier “code point” Dernier “code point” Octet 1 Octet 2 Octet 3 Octet 4
1 U+0000 U+007F 0xxxxxxx
2 U+0080 U+07FF 110xxxxx 10xxxxxx
3 U+0800 U+FFFF 1110xxxx 10xxxxxx 10xxxxxx
4 U+10000 U+10FFFF 11110xxx 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx

Principe de l'encodage

  • Si le bit de poids fort d'un octet est à 0, alors il s'agit d'un caractère ASCII codé sur les 7 bits restants.
  • Sinon, les premiers bits de poids fort de l'octet indiquent le nombre d'octets utilisés pour encoder le caractère à l'aide d'une séquence de bits à 1 et se termine par un bit à 0.
    Exemple : 110xxxxx signifie que le caractère est codé sur 2 octets.

Exemples

Pt de code pt code binaire UTF-8 (binaire/hexa)
U+004B 01001011 01001011 (4b)
U+004B 11000101 11000011 (C3) 10000101 (85)
U+004B 00001010 10011100 11100000 (E0) 10101010 (AA) 10011100 (9C)

5.4 Les chaînes de caractères en Python

  • Les nombres entiers sont représentés en binaire (base 2) dans un ordinateur. La notation hexadécimale (base 16) simplifie l'écriture des nombres binaires. Il existe deux représentations des nombres stockés sur plusieurs octets, le petit et le gros boutisme, qui se différencient selon l'ordre des octets en mémoire. Le codage des nombres relatifs utilise la technique du complément à deux pour faciliter les opérations arithmétiques.
  • Les nombres flottants sont une représentation approximative des nombres réels dans un ordinateur. La norme internationale IEEE 754 définit un encodage en simple (32 bits) ou double précision (64 bits) ainsi que des règles d'arrondi. Les opérations arithmétiques sur les nombres flottants n'ont pas toujours les mêmes propriétés que ces mêmes opérations sur les réels.
  • Les caractères sont représentés par des entiers et des tables de correspondances sont établies par des normes (ASCII, Unicode). La norme ASCII définit un jeu restreint de 127 caractères. Le format Unicode est conçu pour représenter les caractères de toutes les langues. Il existe plusieurs formats d'encodage Unicode (UTF-8, UTF-16, UTF-32) qui se distinguent par le nombre d'octets minimum pour représenter les points de code.
  • info/gene/repdonnees.txt
  • Dernière modification: 2021/08/21 08:24
  • de phil